Η σειρά Τέιλορ εκφράζει κάθε ομαλή συνάρτηση ως άπειρο πολυώνυμο. Κάθε συντελεστής είναι μια παράγωγος: ο n-οστός όρος είναι f⁽ⁿ⁾(a)/n! επί (x−a)ⁿ. Για καλά φερόμενες συναρτήσεις όπως οι eˣ, sin(x) και cos(x), η σειρά συγκλίνει παντού στην ακριβή τιμή της συνάρτησης.
Κάθε επιπλέον όρος επεκτείνει περισσότερο την προσέγγιση. Προσθέτοντας όρους: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Οι τρεις σημαντικότερες σειρές Μακλόριν είναι: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (συγκλίνει παντού), sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (συγκλίνει παντού), cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (συγκλίνει παντού). Αντικαθιστώντας x = iπ στη σειρά της eˣ προκύπτει η ταυτότητα του Όιλερ.
Πίνακας σειρών Μακλόριν
| f(x) | Σειρά | Ακτίνα |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Ο Μπρουκ Τέιλορ διατύπωσε το γενικό θεώρημα το 1715· η ειδική περίπτωση με κέντρο το 0 διαδόθηκε από τον Κόλιν Μακλόριν το 1742. Κάθε αριθμομηχανή και υπολογιστής χρησιμοποιεί σειρές Τέιλορ για να υπολογίζει υπερβατικές συναρτήσεις. Το σφάλμα μετά από n όρους φράσσεται από το υπόλοιπο του Λαγκράνζ: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x−a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Κάθε ζεύγος όρων προσθέτει μία ακόμη τάξη ακρίβειας.
Μια σειρά Τέιλορ παριστά μια ομαλή συνάρτηση ως άπειρο πολυώνυμο: f(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f″(a)(x−a)^2/2! + ... Οι συντελεστές είναι παράγωγοι στο κεντρικό σημείο a. Οι σειρές Μακλόριν είναι κεντραρισμένες στο 0. Οι τρεις βασικές σειρές συγκλίνουν παντού: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Αν αντικαταστήσεις x = i*π στη σειρά της e^x, αποδεικνύεται η ταυτότητα του Όιλερ. Κάθε αριθμομηχανή χρησιμοποιεί εσωτερικά σειρές Τέιλορ για να υπολογίζει υπερβατικές συναρτήσεις.