Ένας αριθμός είναι υπερβατικός αν δεν είναι ρίζα καμίας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Το π δεν ικανοποιεί καμία εξίσωση όπως x^2 - 3x + 1 = 0. Το e επίσης δεν ικανοποιεί τέτοια εξίσωση. Υπάρχουν πέρα από την εμβέλεια της άλγεβρας. Παρότι είναι σπάνιο να κατονομάζονται, οι υπερβατικοί αριθμοί είναι ο κανόνας και όχι η εξαίρεση: σχεδόν κάθε πραγματικός αριθμός είναι υπερβατικός.
Κάθε ρητός αριθμός είναι αλγεβρικός. Κάθε αλγεβρικός αριθμός είναι πραγματικός. Αλλά οι υπερβατικοί, οι αριθμοί έξω από τον αλγεβρικό δακτύλιο, είναι πολύ περισσότεροι από όλους τους αλγεβρικούς μαζί.
Από την τεχνητή κατασκευή του Λιουβίλ (1844) έως το θεώρημα Γκέλφοντ-Σνάιντερ (1934), η θεωρία της υπερβατικότητας εξελίχθηκε από περιέργεια σε μεγάλο κλάδο της θεωρίας αριθμών.
Πίνακας που δείχνει αλγεβρικούς αριθμούς με τα ελάχιστα πολυώνυμά τους έναντι υπερβατικών αριθμών χωρίς τέτοιο πολυώνυμο
| ΑΡΙΘΜΟΣ | ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ |
|---|---|
| √2 = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3.14159... | δεν υπάρχει πολυώνυμο |
| e = 2.71828... | δεν υπάρχει πολυώνυμο |
| e^π = 23.1406... | δεν υπάρχει πολυώνυμο |
Ένας αριθμός είναι υπερβατικός αν δεν ικανοποιεί καμία πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Ο Λιουβίλ έδωσε το πρώτο ρητό παράδειγμα το 1844. Ο Ερμίτ απέδειξε ότι το e είναι υπερβατικό το 1873. Ο Λίντεμαν απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικό το 1882, λύνοντας οριστικά το αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου ως αδύνατο. Το θεώρημα Γκέλφοντ-Σνάιντερ (1934) δείχνει ότι το a^b είναι υπερβατικό όταν το a είναι αλγεβρικό και όχι 0 ή 1, και το b είναι αλγεβρικό και άρρητο. Παρότι είναι ο κανόνας και όχι η εξαίρεση, η απόδειξη ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι υπερβατικός παραμένει εξαιρετικά δύσκολη.