किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) पर बना वर्ग बाकी दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि लंबवत भुजाएँ a और b हों, और कर्ण c हो, तो a² + b² = c²। 3-4-5 त्रिभुज में 9 + 16 = 25 होता है।
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
1900 ईसा पूर्व की बेबीलोनियाई मिट्टी की पट्टिकाओं में पाइथागोरसी त्रय (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) मिलते हैं, जिससे पता चलता है कि यह परिणाम पाइथागोरस से बहुत पहले अनुभवजन्य रूप से ज्ञात था। उनकी परंपरा (लगभग 570 ईसा पूर्व) ने इसका पहला प्रमाण दिया। आज 370 से अधिक अलग-अलग प्रमाण ज्ञात हैं, जिनमें बीजीय, ज्यामितीय, त्रिकोणमितीय, और 1876 में अमेरिकी राष्ट्रपति जेम्स गारफ़ील्ड द्वारा प्रकाशित एक प्रमाण भी शामिल है।
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
n आयामों में, मूल बिंदु से (x₁, x₂, …, xₙ) तक की दूरी √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²) होती है। फ़र्मा का अंतिम प्रमेय (एंड्र्यू वाइल्स ने 1995 में 358 वर्षों बाद सिद्ध किया) बताता है कि n > 2 के लिए aⁿ + bⁿ = cⁿ के कोई धनात्मक पूर्णांक हल नहीं होते। पाइथागोरस का प्रमेय n=2 का वही विशेष मामला है, जिसके अनंत पूर्णांक हल हैं।
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
किसी भी समकोण त्रिभुज में a^2 + b^2 = c^2 होता है। यह परिणाम बेबीलोनियों को 1800 ईसा पूर्व तक अनुभवजन्य रूप से ज्ञात था; पहला प्रमाण पाइथागोरस के अनुयायियों ने लगभग 570 ईसा पूर्व दिया। इसके 370 से अधिक पृथक प्रमाण ज्ञात हैं, जिनमें 1876 में अमेरिकी राष्ट्रपति जेम्स गारफ़ील्ड का प्रमाण भी शामिल है। पूर्णांक हलों को पाइथागोरसी त्रय कहते हैं: सभी त्रय (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) से प्राप्त होते हैं। फ़र्मा का अंतिम प्रमेय (वाइल्स, 1995) बताता है कि घात 2 से बड़े घातों के लिए ऐसे समान पूर्णांक हल नहीं होते। यह प्रमेय n आयामों में यूक्लिडीय दूरी सूत्र के रूप में विस्तृत होता है।