A ζ(3) a Riemann-zéta-függvény 3 helyen vett értéke: az összes pozitív egészre vett 1/n³ összeg. Páros bemenetekre Euler gyönyörű zárt alakokat talált: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Páratlan bemeneteknél ilyen képlet nem ismert. Az sem tudjuk, hogy a ζ(3) egyáltalán kapcsolatban áll-e π-vel.
A z(3) két olyan érték között helyezkedik el, amelyeknek ismert, π-t tartalmazó zárt alakjuk van. Az továbbra is ismeretlen, hogy a z(3) kapcsolódik-e π-hez.
1978-ban Roger Apéry bejelentette, hogy bizonyította a ζ(3) irracionalitását. A hallgatóság szkeptikus volt. Henri Cohen és más matematikusok hazarohantak, hogy éjszaka számítógépen ellenőrizzék a bizonyítást. Másnap reggelre megerősítették, hogy helyes. „Olyan volt, mint derült égből a mennydörgés” – mondta az egyik résztvevő. Apéry ekkor 64 éves volt.
Az 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... parciális összegek alulról közelítik a ζ(3) ≈ 1,20206 értéket. A konvergencia lassú: még n=50-nél is 0,003-mal eltér az összeg.
A legfontosabb nyitott kérdés az, hogy a ζ(3) kifejezhető-e π segítségével. Minden páros zétaérték a megfelelő π-hatvány racionális többszöröse. A páratlan zétaértékek mintha más világban élnének. Végtelen sok páratlan értékről, ζ(2n+1)-ről ismert, hogy irracionális (Rivoal, 2000), de a pontos mintázat továbbra is rejtélyes. Teljes értéke: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = racionális szám × π^(2k) minden páros k esetén. Euler ezt minden páros értékre bebizonyította. De a ζ(3), ζ(5), ζ(7)... teljesen másképp viselkednek. A ζ(3) irracionális (Apéry), de π-hez fűződő kapcsolatát nem ismerjük. Lehetséges, hogy valóban független π-től.
Táblázat a páros egész helyeken ismert π-s törtalakokról és a páratlan helyek rejtélyéről
| Páros s: pontos képletek | Páratlan s: rejtély |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irracionális (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irracionális? ismeretlen |
| Mind = racionális × π^s | Nincs ismert π-kapcsolat |
Nem ismert. Roger Apéry 1978-ban bebizonyította, hogy a zeta(3) irracionális, de az továbbra is nyitott kérdés, hogy transzcendens-e. Széles körben úgy vélik, hogy az, de bizonyítás nincs.
A kvantumelektrodinamikában (az elektron mágneses momentumának korrekcióiban), a véletlenmátrix-elméletben, valamint egy kétdimenziós Ising-modell entrópiájában. Megjelenik a Fermi–Dirac- és a Bose–Einstein-eloszlásokban a statisztikus mechanikában.
Ramanujan gyorsan konvergáló sorokat talált a zeta(3)-ra, köztük egy 7pi^3/180-at és exponenciális összegeket tartalmazó formulát. Jegyzetfüzetei tucatnyi, a zeta(3)-hoz kapcsolódó azonosságot tartalmaztak, amelyek többségét csak évtizedekkel a halála után bizonyították be.
Egész számok: A(n) = a C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 összege k szerint. Ezek Apéry irracionalitási bizonyításában jelennek meg. Az első néhány érték: 1, 5, 73, 1445, 33001. Rekurzív összefüggést elégítenek ki, és úgy nőnek, hogy az 1/n^3 parciális összegeinek nevezőiből speciális tényezők kioltsák egymást, ezáltal a határérték irracionálissá válik.
Az Apéry-állandó, zeta(3), az 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... összeg, vagyis 1,20205690315959. Páros s értékekre Euler talált π-t tartalmazó zárt alakokat: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Páratlan értékekre ilyen képlet nem ismert. Roger Apéry 1978-ban, 64 éves korában bizonyította be, hogy a zeta(3) irracionális. Az, hogy transzcendens-e, vagy hogy összefügg-e π-vel, továbbra is nyitott.