A bázeli probléma azt kérdezi: mi az 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ pontos értéke? A sor konvergens, de mihez? Pietro Mengoli 1650-ben vetette fel. 84 éven át minden matematikusnak beletört a bicskája, míg Euler 1734-ben, 28 évesen meg nem oldotta.
A parciális összegek lassan közelítik a π²/6 ≈ 1,6449 értéket. Euler 1734-ben bizonyította be, hogy a határérték π²/6, összekapcsolva az analízist a geometriával.
Euler bizonyításában a sin(x)/x Taylor-sorát a gyökei – ±π, ±2π, ±3π… – szerinti végtelen szorzattá bontotta. A szorzatalak x² együtthatóját a Taylor-együtthatóval összehasonlítva közvetlenül adódik, hogy Σ 1/n² = π²/6. Ez a matematika egyik leghíresebb számítása, és a π megjelenése itt nem véletlen: a körök és gömbök természetes módon kapcsolódnak egész számokból álló összegekhez a Riemann-zéta-függvényen keresztül.
Minden 1/n^2 tag gyorsan csökken. Összegük pontosan π^2/6 ≈ 1,6449 értékhez tart.
Az eredmény általánosítható: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, és minden páros zétaérték a π hatványainak racionális többszöröse. A páratlan értékek – ζ(3), ζ(5), ζ(7)… – sokkal rejtélyesebbek. Apéry 1978-ban bebizonyította, hogy a ζ(3) irracionális, de π segítségével felírt zárt alakja nem ismert.
Annak a valószínűsége, hogy két véletlenszerűen választott egész számnak nincs közös osztója (azaz relatív prímek), pontosan 6/pi^2, ami a pi^2/6 reciproka. Ez nagyjából 60,8%. A bázeli problémát közvetlenül összeköti a számelmélettel és a valószínűségelmélettel.