Egy komplex számnak két része van: egy valós része és egy képzetes része. Az i képzetes egységre teljesül, hogy i² = -1. Minden valós szám komplex szám is, ahol b = 0. A komplex számok nem egy 1D egyenest, hanem egy 2D síkot töltenek ki, így minden polinomegyenletnek pontosan annyi gyöke van, mint a foka.
Az i-vel való szorzás 90 fokos óramutató járásával ellentétes forgatás. Ha kétszer szorzunk i-vel (vagyis i²-tel), az 180 fokos forgatás, ami az 1-et -1-be viszi. Az i² = -1 tehát nem algebrai trükk, hanem forgatás.
A valós számok felett az x²+1=0 egyenletnek nincs megoldása. A komplex számok felett kettő is van: i és -i. Az algebra alaptétele azt mondja: ha a komplex számokra bővítünk, minden n-edfokú polinomnak pontosan n gyöke van.
Táblázat a valós és a komplex számok feletti polinomokról, bemutatva, hogy minden n-edfokú polinomnak pontosan n komplex gyöke van
| POLINOM | VALÓS GYÖKÖK | KOMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 valós gyök | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 valós gyök | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 valós gyök | 4 |
| Minden n-edfokú polinomnak pontosan n komplex gyöke van (multiplicitással számolva) |
A komplex számok az i bevezetésével a valós számegyenest 2D síkká bővítik, ahol i négyzete -1. Minden z = a + bi alakú komplex számnak van valós része a, képzetes része b, modulusa |z| = sqrt(a négyzet + b négyzet), és argumentuma arg(z) = atan(b/a). Az e^(i*theta)-val való szorzás theta radiánnal forgat. Az algebra alaptétele szerint minden n-edfokú polinomnak pontosan n komplex gyöke van, multiplicitással számolva. A komplex számok a kvantummechanika, a jelfeldolgozás és Euler azonosságának alapjai.