A lánctört egy számot úgy ír fel, mint egy egész számot plusz egy másik lánctört reciprokát. Minden valós számnak egyedi lánctört-felbontása van. A racionális számoknál a lánctört véges; a másodfokú irracionálisoknál periódikus; a transzcendens számoknál, például a pi-nél, nincs ismert mintázat. A konvergensek (a levágással kapott racionális közelítések) bizonyíthatóan a legjobb közelítések az adott nagyságú nevezővel.
Táblázat phi, sqrt2, e és pi lánctörtjeiről, megmutatva, melyek periódikusak és melyek szabálytalanok
| ÁLLANDÓ | LÁNCTÖRT JELÖLÉS | TÍPUS |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodikus |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodikus |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodikus |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | mintázatos |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | nincs mintázat |
| Tétel: egy lánctört akkor és csak akkor periódikus, ha a szám másodfokú irracionális (Lagrange, 1770) | ||
| phi a „legnehezebben közelíthető”: a csupa 1-es lánctört a lehető legrosszabb konvergenciát adja |
Táblázat a pi konvergenseiről, kis nevezőkkel egyre pontosabb racionális közelítésekkel
| KONVERGENS | TIZEDES ALAK | HIBA |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 6 tizedesjegyig pontos, miközben a nevező csak 3 számjegyű |
A 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 konvergensek felváltva π fölé és alá esnek. Mindegyik a legjobb racionális közelítés azzal a nevezővel vagy annál kisebbel.
Minden valós számnak egyedi lánctört-felbontása van. A racionális számok lánctörtje véges. A másodfokú irracionálisoknak (mint a sqrt(2) és a phi) végül periodikussá váló lánctörtjük van. A transzcendens számoknál, például a pi-nél, nincs ismert mintázat. Egy lánctört konvergensei adják a legjobb racionális közelítéseket: a 22/7 és a 355/113 a pi konvergensei, amelyek rendre 2, illetve 6 tizedesjegyig pontosak. A phi = [1; 1, 1, 1, ...] a legnehezebben közelíthető szám, így precíz értelemben a „legirracionálisabb”.