A De Moivre-tétel szerint ha az egységkör egy pontját n-edik hatványra emeljük, a szöge egyszerűen n-szeresére változik. Ha θ szögnél indulunk, és a műveletet n-szer alkalmazzuk, akkor nθ szögnél kötünk ki. Ez a komplex számok aritmetikájának geometriai magja.
A kiinduló szög θ = 40° az egységkörön. Négyzetre emelve a szög 80°-ra nő (zöld), köbre emelve 120°-ra (piros). A pont csak elfordul: az origótól mért távolsága 1 marad.
A tétel azonnal következik Euler képletéből: e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Mindkét oldalt n-edik hatványra emelve: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre 1707-ben írta le eredményét, 41 évvel Euler képletének publikálása előtt, ezért a bizonyítás inkább tűnik varázslatnak, mint puszta technikának.
A 6-odik egységgyökök szabályos hatszöget alkotnak az egységkörön. A z^n = 1 egyenlet n-edik gyökei mindig szabályos n-szöget alkotnak, egyenlő 2πk/n = τk/n szögközökkel.
A De Moivre-tétel a kulcsa a komplex számok hatványainak és gyökeinek kiszámításához, a többszögű szögképletek levezetéséhez (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), valamint bármely komplex szám n egyenletesen elhelyezkedő n-edik gyökének megtalálásához. Összeköti a komplex számok algebráját a forgatás geometriájával.
Amikor két komplex számot összeszorzunk, a szögeik (argumentumaik) összeadódnak, a nagyságaik pedig szorzódnak. Ha mindkét szám az egységkörön van (modulusuk 1), csak a szögek változnak. Ha n-szer szorzunk, a szög n-szer adódik hozzá: ez a De Moivre-tétel.
A De Moivre-tétel megmutatja, hogy a cos(n*theta) mindig felírható cos(theta) polinomjaként. Ezek a Csebisev-polinomok T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Például cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, ezért T_2(x) = 2x^2 - 1. Megjelennek a numerikus analízisben, a szűrőtervezésben és a közelítéselméletben.