Az e az az egyetlen szám, amelynél az eˣ függvény saját maga deriváltja. Ha bármilyen mennyiséget évi 100%-os rátával folytonosan növesztünk, akkor pontosan egy év múlva e-szerese lesz a kiinduló értéknek. Más alapnak nincs ilyen önmagára visszautaló tulajdonsága.
Ahogy n nő, a sorozat alulról közelíti e-t, 2.71828182845904… felé konvergálva.
Táblázat, ahogy az (1+1/n)^n e-hez tart
| n | (1 + 1/n)ⁿ | távolság e-től |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
A kamatos kamat értelmezésében: ha egy bank évi 100% kamatot fizet, de évente n-szer tőkésít, akkor az egyenleg (1 + 1/n)ⁿ-re nő. Havi tőkésítésnél 2.613-at kapunk. Másodpercenkénti tőkésítésnél 2.718-at. Folytonos tőkésítésnél pontosan e-t.
x=1 esetén a görbe magassága e ≈ 2.718, és az érintő meredeksége is e. Más b^x alakú függvényre ez nem igaz.
Jacob Bernoulli 1683-ban fedezte fel e-t kamatos kamat vizsgálata közben. Euler 1731-ben nevezte el e-nek. Irracionalitását Euler 1737-ben, transzcendenciáját Hermite 1873-ban bizonyította. Tizedes alakja, 2.71828182845904523536…, soha nem ér véget és soha nem ismétlődik periodikusan.
Ha 1 dollárral indulunk évi 100% kamat mellett: havi tőkésítésnél 2.613, napi tőkésítésnél 2.714, másodpercenkéntinél 2.718. A határérték n→∞ esetén pontosan e.
Az e (Euler száma) körülbelül 2.71828182845904523536. Ez az az egyetlen szám, amelynél az e^x függvény minden pontban egyenlő saját deriváltjával. Jacob Bernoulli 1683-ban fedezte fel kamatos kamat vizsgálata közben. Leonhard Euler kb. 1731 körül nevezte el e-nek. Az e irracionális (Euler, 1737) és transzcendens (Hermite, 1873). Megjelenik a folytonos növekedésben és fogyásban, a természetes logaritmusokban, a normáleloszlásban, a kamatos kamatban, a radioaktív bomlásban és Euler azonosságában: e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler-szám e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor-sor.