Mi Euler azonossága?

e^iπ + 1 = 0

Öt alapvető konstans. Egy egyenlet. Semmi más nem kell.

Az öt konstans

e

Euler-szám≈ 2.71828…

A természetes logaritmus alapja. A növekedést és a csökkenést írja le.

i

Képzetes egység= √(−1)

Kielégíti, hogy i² = −1. A komplex számok alapja.

π

Pi≈ 3.14159…

A kör kerületének és átmérőjének aránya.

1

Egy

A multiplikatív egység. Bármely szám × 1 = önmaga.

0

Nulla

Az additív egység. Bármely szám + 0 = önmaga.

Euler azonossága Euler-formulából következik: e^ix = cos(x) + i·sin(x). Ha x = π, akkor e^iπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, ezért e^iπ + 1 = 0.

Lépésről lépésre

Euler-formulaeⁱˣ = cos(x) + i·sin(x)

Állítsd x-et π-reeⁱπ = cos(π) + i·sin(π)

Számold kieⁱπ = −1 + 0i

Egyszerűsítseⁱπ = −1

Adj hozzá 1-eteⁱπ + 1 = 0 ✓

Az egységkör nézete

Az e^iθ az egységkört rajzolja ki. A π-val való elfordulás −1-hez ér. Adj hozzá 1-et, és 0-t kapsz.

Miért szeretik a matematikusok

Összekapcsolja az aritmetikát (0 és 1), az algebrát (i), a geometriát (π) és az analízist (e) - a matematika négy különböző ágát - egyetlen, lenyűgözően egyszerű egyenletben. Richard Feynman "a matematika legfigyelemreméltóbb képletének" nevezte.

Történet

Leonhard Euler (1707–1783) az e^ix = cos(x) + i·sin(x) formulát az Introductio in analysin infinitorum című művében (1748) közölte. Az azonosság az x = π speciális esete. Euler vezette be vagy tette széles körben ismertté az e, i, f(x), Σ és π jelöléseket.

Használat helye

∑Matematika

✓

⚛Fizika

✓

⚙Mérnöktudomány

✓

🧬Biológia

–

💻Számítástudomány

✓

📊Statisztika

–

📈Pénzügy

–

🎨Művészet

–

🏛Építészet

–

♪Zene

–

🔐Kriptográfia

–

🌌Csillagászat

–

⚗Kémia

–

🦉Filozófia

–

🗺Földrajz

–

🌿Ökológia

–

Tudj meg többet e-ről →Tudj meg többet π-ről →

Az e az i pi-ediken Taylor-sora, amely megmutatja, hogy az eredmény mínusz 1

Az eˣ Taylor-sora a valós tagoknál cos(π)-vé, a képzetes tagoknál i·sin(π)-vé csoportosul. Mivel cos(π) = −1 és sin(π) = 0, ezért e^(iπ) = −1, vagyis e^(iπ) + 1 = 0.

Geometriai jelentés: forgatás a komplex síkon

Az e^(i*theta) képlet egységkört ír le a komplex síkon, ahogy theta nő. Az e^(i*pi) pontosan pi radiánnal (180 fokkal) forgat el az 1 pontból indulva, és a -1-be érkezik. Ha hozzáadunk 1-et, visszajutunk 0-hoz. Ezért e^(i*pi) + 1 = 0: a komplex sík egy félfordulata egyenletként leírva.

e^(iπ) félfordulat: minden pontot az ellentettjébe küld

Az e^(iθ) forgató operátor. θ=π esetén pontosan fél kört fordulunk. A valós tengelyen lévő 1 pont a -1-be jut. Ha mindkét oldalhoz 1-et adunk, megkapjuk: e^(iπ) + 1 = 0.

Az Euler-azonosság öt állandója

e^(iπ) + 1 = 0

e ≈ 2,71828 (természetes növekedés) · i = √(−1) (képzetes egység)

π ≈ 3,14159 (a kör aránya) · 1 (szorzási egység) · 0 (összeadási egység)

Öt alapvető állandó, három művelet (+, ×, hatványozás), egy egyenlet.

Kapcsolódó témák

E Pi (π) Komplex számok

Euler-féle szám, e → Pi (π) → Komplex számok → De Moivre tétele → Taylor-sor →

Fő tények Euler azonosságáról

Euler azonossága, e^(i*pi) + 1 = 0, egyesíti a matematika öt legfontosabb állandóját: e-t (a természetes logaritmus alapját), i-t (a képzetes egységet), pi-t (a kör állandóját), 1-et (a szorzási egységet) és 0-t (az összeadási egységet). Közvetlenül Euler képletéből, e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) következik, ha theta = pi. Mivel cos(pi) = -1 és sin(pi) = 0, ezért e^(i*pi) = -1. Euler 1748 körül közölte először. Több szavazáson is a matematika legszebb egyenletének választották.