Az analízis alaptétele két látszólag különálló gondolatot kapcsol össze. 1. rész: ha egy függvényt egy rögzített ponttól x-ig integrálunk, akkor ennek az integrálnak a deriváltja az eredeti függvény. 2. rész: f határozott integrálja a-tól b-ig egyenlő bármely primitív függvény F(b) − F(a) különbségével.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667. Az F(x) = x³/3 primitív függvény közelítés nélkül adja meg a pontos területet.
A tétel előtt a területek kiszámításához Riemann-összegekre volt szükség: a tartományt vékony téglalapokra osztották, ezeket összeadták, majd határértéket vettek. Az analízis alaptétele mindezt egyetlen kivonással helyettesíti. Újton ezt 1666-ra megértette, Leibniz pedig 1675-ben ettől függetlenül. Az elsőbbségi vita egy nemzedékre kettészakította a brit és a kontinentális matematikát.
Minden, kalkulusban tanított integrál a 2. részt használja: keressünk primitív függvényt, értékeljük ki a végpontokban, majd vonjuk ki őket. Ez azért működik, mert a differenciálás és az integrálás pontos inverzei egymásnak. Az egész matematika egyik legmélyebb és leghasznosabb eredménye.
Egy 8 téglalapos Riemann-összeg ≈ 0,273-at ad. A pontos érték 8/3 ≈ 2,667. Az analízis alaptétele téglalapok nélkül ad pontos eredményt.
Az a-tól b-ig terjedő elmozdulás során egy változó F(x) erő által végzett munka: W = az a-tól b-ig vett F(x) integrálja = P(b) - P(a), ahol P a potenciális energiafüggvény, amelyre P' = -F. A sebességből elmozdulás lesz integrálással; az erőből impulzus. Az analízis alaptétele teszi ezeket a számításokat kezelhetővé, ahelyett hogy végtelen Riemann-összegekre lenne szükség.