Az 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ harmonikus sor divergens, de elképesztően lassan nő. Egymillió tag után is alig éri el a 14-et. A természetes logaritmus, ln(n), ugyanilyen ütemben nő. Az Euler–Mascheroni-állandó, γ, a kettő közötti pontos rés: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
A harmonikus összeg és az ln(n) különbsége γ ≈ 0.5772-höz tart, ahogy n → ∞. A konvergencia nagyon lassú – a rés n = 1000-nél még mindig 0.001.
γ végigvonul az analízisen és a számelméleten. Formális értelemben összeköti a harmonikus sort a Riemann-zéta-függvénnyel: γ = -ζ'(1). Megjelenik a Gamma-függvényben, mert Γ'(1) = -γ, a prímtávolságok eloszlásában, a Bessel-függvényekben és a digamma-függvény aszimptotikus kifejtésében.
Hogy γ racionális vagy irracionális, a matematika egyik legrégebbi nyitott kérdése. Szinte minden matematikus úgy gondolja, hogy transzcendens, de erre nincs bizonyítás. Több mint 600 milliárd tizedesjegyig kiszámították: 0.57721566490153286060651209008240243…
A H(n) harmonikus részegyösszegek (piros, lépcsős) és az ln(n)+γ (kék, sima). A köztük lévő különbség 0-hoz tart, miközben H(n)−ln(n) → γ.
Az Euler–Mascheroni gamma-állandó körülbelül 0.57721566490153286060. Hogy racionális-e vagy irracionális, nem ismert, és ez a matematika egyik leghíresebb nyitott problémája. Euler 1734-ben közölte először; Mascheroni 1790-ben függetlenül újraszámolta. A gamma megjelenik a Gamma-függvényben, a Riemann-zéta-függvényben, Mertens prímszorzat-tételében, a Bessel-függvényekben és a prímtávolságok eloszlásában. Mivel nem létezik streaming algoritmusa, számjegyeit előre kiszámítva tárolják.
Euler-Mascheroni-állandó γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonikus-logaritmikus határérték.