Az e^(−x²) függvény a haranggörbe: x = 0-nál 1-et vesz fel, és mindkét irányban szimmetrikusan 0-hoz tart. A teljes valós egyenes feletti terület pontosan √π ≈ 1,7724. Ez figyelemre méltó: az e és a π, amelyeket általában külön területeken látunk, a valószínűségelmélet legegyszerűbb integráljában találkoznak.
Az e^(−x²) integrálja minden x-re √π ≈ 1,7725. Ez a Gauss-integrál. Ennek a √(2π)-vel osztott változata adja a standard normális eloszlás görbéjét.
A bizonyítás a matematika egyik legelegánsabb trükkje. Legyen I = ∫e^(−x²)dx. Számoljuk ki I²-et úgy, hogy kétszeres integrállá írjuk x és y szerint, majd térjünk át polárkoordinátákra, r és θ szerint. Az integrandus e^(−r²) lesz, a területelem pedig r·dr·dθ. Az r miatt az integrál elemi: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Ezt megszorozva az ∫₀^(2π) dθ = 2π értékkel, I² = π adódik, tehát I = √π.
A normális eloszlás, a centrális határeloszlás-tétel, a kvantumos hullámfüggvények (amelyek Gauss-hullámcsomagokat használnak), valamint a faktoriálisok Stirling-közelítése mind ezen az egyetlen integrálon nyugszik. A √π érték mindenütt felbukkan, ahol e^(−x²)-t integrálunk – ami a folytonos valószínűségelméletben meglepően gyakran megtörténik.
A Gauss-integrál: e^(-x^2) integrálja mínusz végtelentől plusz végtelenig = sqrt(pi). Az elegáns bizonyítás négyzetre emeli az integrált, polárkoordinátákra vált, majd pontosan kiértékeli. Ez a normális eloszlás kulcsszámítása: a (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) sűrűség integrálja 1. A Gauss-függvény megjelenik a kvantummechanikában, a hőterjedésben, a Stirling-közelítésben és a centrális határeloszlás-tételben.