A Gelfond-állandó az e π-edik hatványa. Közelítő értéke 23,14069263277927… Transzcendenciájának bizonyítása Hilbert 7. problémája volt, amelyet 1900-ban a 20. század 23 legfontosabb megoldatlan kérdése közé sorolt. Alexander Gelfond 1934-ben oldotta meg.
e^π csábítóan közel van a 23-hoz, de 0,14-del eltér tőle. Az e^π - π ≈ 19,999 egybeesés még közelebbi, de ugyanígy valószínűleg jelentés nélküli.
A Gelfond–Schneider-tétel (1934) kimondja: ha a algebrai, nem 0 és nem 1, továbbá b algebrai és irracionális, akkor a^b transzcendens. A Gelfond-állandóra e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Itt a = −1 (algebrai), b = −i (algebrai és irracionális), ezért a tétel közvetlenül alkalmazható.
Táblázat a Gelfond–Schneider-tétellel transzcendensnek bizonyított számokról
| Kifejezés | a | b | Eredmény |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzcendens |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzcendens |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzcendens |
Az e^π − π ≈ 19,9990999 számszerű közelségre nincs ismert matematikai magyarázat. Valószínűleg puszta véletlen, bár hasonló egybeesésekről – például Ramanujan állandójáról – néha kiderül, hogy mély oka van. Az e^π értékét milliónyi tizedesjegyre kiszámították: 23,14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Ez számológép nélkül is belátható: az x^(1/x) függvény maximuma x=e helyen van, tehát e^(1/e) > π^(1/π), ebből pedig következik, hogy e^π > π^e.
A Gelfond-állandó e^pi ≈ 23,14069. Annak bizonyítása, hogy transzcendens, Hilbert 7. problémája volt (1900). Gelfond 1934-ben oldotta meg: ha a algebrai (nem 0 és nem 1), b pedig algebrai és irracionális, akkor a^b transzcendens. Mivel e^pi = (-1)^(-i), és -1 meg -i algebrai számok, miközben -i irracionális, a tétel alkalmazható. Az e^pi - pi ≈ 19,999 közeli egybeesésre nincs ismert matematikai magyarázat.