A harmonikus sor az összes egységtört összege. Minden 1/n tag nullához tart, ami azt sugallhatná, hogy az összeg konvergens, de nem az. A bizonyítás csoportosítást használ: 1/3+1/4 > 1/2, aztán 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, és minden ilyen csoport legalább 1/2-vel növeli az összeget, így a teljes összeg minden korlátot meghalad. Mégis rendkívül lassan divergens: ahhoz, hogy a parciális összeg elérje a 100-at, több tag kell, mint ahány atom az észlelhető világegyetemben van.
H(n) és ln(n) együtt nőnek, különbségük mindig körülbelül γ ≈ 0,5772. Mindkettő divergens: H(n) = 100 eléréséhez körülbelül 10^43 tag kell.
H(n)=100 eléréséhez körülbelül 10^43 tag szükséges. Több, mint ahány atom van a megfigyelhető világegyetemben.
Az 1 + 1/2 + 1/3 + ... harmonikus sor divergens; ezt Nicole Oresme bizonyította körülbelül 1350-ben. Bár minden tag nullához tart, az összeg minden korlátot meghalad. A parciális összegek úgy nőnek, mint ln(n) + gamma, ahol gamma ≈ 0,5772 az Euler–Mascheroni-állandó. Egymillió tag után az összeg még csak körülbelül 14. A 100 eléréséhez 10^43-nál is több tag szükséges. A váltakozó sor 1 - 1/2 + 1/3 - ... konvergál ln 2-höz.