Egy szám irracionális, ha nem írható fel p/q törtként, ahol p és q egészek. Tizedes alakja soha nem ér véget, és soha nem ismétlődik periodikusan. A sqrt(2), a pi, az e és a phi mind irracionálisak. Nem kivételek vagy furcsaságok: a valós számok túlnyomó többsége irracionális.
Kék: racionális számok (pontos törtek). Piros: irracionális számok (nem ismétlődő tizedesek). Bármely két racionális között van irracionális, és fordítva is.
Összehasonlító táblázat véges vagy periodikus tizedes alakú racionális számokról, illetve végtelen, nem ismétlődő irracionális számokról
| RACIONÁLIS: véges vagy periodikus | IRRACIONÁLIS: soha nem periodikus |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| terminates | soha nincs mintázat |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| ismétlődő blokk: {3} | soha nincs mintázat |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| ismétlődő blokk: {142857} | soha nincs mintázat |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| ismétlődő blokk: {45} | soha nincs mintázat |
A racionális számok, bár végtelen sokan vannak, felsorolhatók (megszámlálhatók). Az irracionálisak nem sorolhatók fel. Ha véletlenszerűen választanánk egy valós számot, annak valószínűsége, hogy racionális, 0 lenne.
Egy szám irracionális, ha nem írható fel p/q alakú törtként egész p és q mellett. Tizedes alakja soha nem ér véget, és nem ismétlődik. A püthagoreusok körülbelül Kr. e. 500-ban bizonyították be, hogy sqrt(2) irracionális, ami akkoriban sokkoló felismerés volt. Lambert 1761-ben bebizonyította, hogy a pi irracionális. Az irracionális számok sokkal többen vannak, mint a racionálisak: a racionálisak megszámlálhatók, az irracionálisak nem. A legtöbb irracionális szám egyben transzcendens is.