Minden valós számnak vannak legjobb racionális közelítései: olyan p/q törtek, amelyek jobban közelítik x-et, mint bármely kisebb nevezőjű tört. A q₁, q₂, q₃, … nevezők nőnek, de milyen ütemben? Paul Lévy 1935-ben bebizonyította, hogy szinte minden valós számra qₙ^(1/n) e^β ≈ 3,27582 értékhez tart, ahol β = π²/(12 ln 2).
Szinte minden valós szám esetén ln(qₙ) lineárisan nő β ≈ 1,1865 meredekséggel. π konvergenseinek nevezői (1, 7, 106, 113, 33102…) átlagosan gyorsabban nőnek a szokatlanul nagy 292-es parciális hányados miatt.
Az aranymetszés φ = [1;1,1,1,…] esetén a nevezők a Fibonacci-számok: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, amelyek lépésenként φ ≈ 1,618 ütemben nőnek. Ez jóval lassabb, mint e^β ≈ 3,276, ezért φ a „legirracionálisabb” szám: a közelítései javulnak a leglassabban. A legtöbb szám nevezői sokkal gyorsabban nőnek, e^β ütemben.
Az aranymetszés és egy tipikus szám nevezőnövekedési ütemének összehasonlítása
| φ = [1;1,1,1,…] | Tipikus szám |
|---|---|
| qₙ úgy nő, mint φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ úgy nő, mint (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| A lehető leglassabb növekedés | Lévy tétele |
A β = π²/(12 ln 2) érték a Gauss–Kuzmin-eloszlás integrálásából bukkan elő. Az ln 2 a 2-es alappal (bináris rendszerrel) való munkából származik, a π² pedig ugyanabból a forrásból, mint a ζ(2) = π²/6. Lévy állandója: 1,1865691104156254… e^β = 3,275822918721811159787681882…
Az 5. lépésben álló 292-es parciális hányados miatt π nevezői sokkal gyorsabban nőnek az átlagosnál. Egy „tipikus” számnál az ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Parciális hányados aₙ | Konvergens pₙ/qₙ | Nevező qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Lévy állandója, beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Szinte minden valós szám esetén az n-edik konvergens qn nevezője úgy viselkedik, hogy qn^(1/n) → e^beta ≈ 3,27582. Paul Lévy bizonyította 1935-ben. Az aranymetszés, amelynek Fibonacci-nevezői phi ≈ 1,618 ütemben nőnek, jóval az átlag alatt van, ami megerősíti, hogy ezt a legnehezebb jól közelíteni. A képlet egyszerre tartalmazza a pi-t és az ln 2-t, így a körgeometriát a logaritmusokkal kapcsolja össze a Gauss–Kuzmin-eloszláson keresztül.