Adjuk össze az n-ig terjedő összes prímszám reciprokát: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Ez nő, de rendkívül lassan: úgy, mint ln(ln(n)). A Meissel–Mertens-állandó M ennek az összegnek és vezető tagjának pontos különbsége, éppen úgy, ahogy az Euler–Mascheroni-állandó γ a harmonikus sor és az ln(n) közötti rés.
Euler 1737-ben bizonyította be, hogy az összes prímreciprok összege divergens. Ez lényegesen nehezebb annál, mint belátni, hogy végtelen sok prím van, és mennyiségi képet ad arról, milyen sűrűn helyezkednek el a prímek. Mertens tétele ezután azt mondja, hogy Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), így M adja a pontos konstans tagot.
Az Euler–Mascheroni- és a Meissel–Mertens-állandó egymás melletti összehasonlítása
| Euler–Mascheroni γ | Meissel–Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| Minden egész szám | Csak a prímek |
M és γ kapcsolatban állnak: M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Nem ismert, hogy bármelyik irracionális-e. Mindkettőt milliárdnyi tizedesjegyre kiszámították, és transzcendensnek sejtik, de egyikre sincs bizonyítás. M: 0,261497212847642783755426838608669…
Harmonikus összeg (kék): 2,93; 5,19; 7,49; 9,79. A prímreciprokösszeg (amely ln(ln(n))+M szerint nő) ugyanezeknél csak 0,84; 1,18; 1,52; 1,85.
Az Euler–Mascheroni-állandó, gamma, a harmonikus sor (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) és az ln(n) közötti különbséget méri. A Meissel–Mertens-állandó M ugyanezt a szerepet tölti be a prímreciprokok összege (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) és az ln(ln(n)) között. Mindkettő olyan „hibajavító” konstans, amely logaritmikusan növekvő divergens sorokhoz tartozik.
A Meissel–Mertens-állandó M ≈ 0,26149 ugyanazt a szerepet tölti be a prímreciprokoknál, mint az Euler–Mascheroni-állandó a harmonikus sornál. Mertens 1874-ben bizonyította, hogy 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + kis hiba. Nem ismert, hogy M irracionális-e. Megjelenik Mertens prímszorzatokról szóló tételében és a sima számok sűrűségében. M és gamma kapcsolatban állnak egy, az összes prímre vett speciális összegen keresztül.