A moduláris aritmetika körön végzett számolás. Két szám kongruens modulo n, ha különbségük n többszöröse. Az óra mod 12-ben számol: 5 órához 10 órát hozzáadva 3-at kapunk, nem 15-öt. Ez az egyszerű ötlet áll az összes modern kriptográfia, hash-függvény, hibajavító kód és a számelmélet nagy része mögött.
Minden sor és oszlop pontosan egyszer tartalmazza a {0,1,2,3,4} halmazt. Az öt elem zárt csoportot alkot mod 5 szerinti összeadásra. Piros: azok az összegek, amelyek „átfordulnak” (≥5).
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
A moduláris aritmetika a kongruenciát vezeti be: a kongruens b mod n pontosan akkor, ha n osztja a-b különbséget. Gauss rendszerezte 1801-ben. Minden modern nyilvános kulcsú kriptográfia erre épül: az RSA például Fermat kis tételét használja, amely szerint a^(p-1) ≡ 1 mod p bármely olyan prím p esetén, amely nem osztja a-t. A hash-függvények moduláris műveletekkel képeznek le nagy bemeneteket fix méretű kimenetekre. Az n szerinti maradékosztályok gyűrűt alkotnak, és ha n prím, akkor véges testet.