A matematika öt fő számrendszert épített fel, és mindegyik a megelőző bővítése. Minden bővítést egy olyan egyenlet kényszerített ki, amelynek addig nem volt megoldása: a „mennyi 3-5?” miatt kellettek az egészek; az „mennyi 1/3?” miatt a racionálisak; a „mennyi sqrt(2)?” miatt a valósak; a „mennyi sqrt(-1)?” miatt a komplex számok.
Táblázat arról, milyen tulajdonságok jelennek meg és változnak meg a számrendszerek bővítésekor
| RENDSZER | NYERESÉG | VESZTESÉG/VÁLTOZÁS |
|---|---|---|
| N (természetesek) | számlálás, +, × | nincs kivonás |
| Z (egészek) | kivonás, negatívak | nincs osztás |
| Q (racionálisak) | osztás, törtek | nincs sqrt(2) |
| R (valósak) | minden határérték, sqrt(2), pi | nincs sqrt(-1) |
| C (komplexek) | minden polinomgyök | algebrailag zárt |
| H (kvaterniók) | 3D forgatások | ab nem = ba |
| Minden bővítés valódi tágítás, nem puszta átnevezés |
Kék: természetes számok ℕ. A zöld hozzáadja a 0-t. A lila kiterjeszt a negatív egészekre ℤ. A narancs hozzáadja a törteket ℚ. A piros: az irracionálisak kitöltik ℝ többi részét.
A matematikának öt fő számrendszere van: természetes számok N (számlálás, nincs kivonás), egészek Z (hozzáadódik a kivonás és a negatívak), racionálisak Q (hozzáadódik az osztás), valósak R (hozzáadódnak a határértékek és az irracionálisak), komplexek C (hozzáadódik a sqrt(-1)). Minden bővítés egy olyan egyenletet oldott meg, amely az előző rendszerben nem volt megoldható. A komplex számok algebrailag zártak: minden polinomegyenletnek van megoldása C-ben. A tartalmazás szigorú: N része Z-nek, Z része Q-nak, Q része R-nek, R része C-nek; a transzcendens számok pedig R külső gyűrűjét töltik ki.