az ÖSSZES osztó összege (n-t is beleszámítva) a szám kétszerese
Egy tökéletes szám egyenlő valódi osztóinak összegével (minden osztóval, önmaga kivételével). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Rendkívül ritkák: mindössze 51 ismert, mind páros, és elképesztően gyorsan nőnek. Az, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, a matematika egyik legrégebbi nyitott problémája.
Az első négy tökéletes szám: osztóportrék
Eukleidész–Euler tétel: páros tökéletes számok ↔ Mersenne-prímek
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
ahol 2^p − 1 Mersenne-prím
Eukleidész bizonyította a → irányt. Euler a ← irányt. Mind az 51 ismert tökéletes szám páros, és ebből a képletből származik. Az, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, ismeretlen.
Tökéletes számok logaritmikus skálán: az exponenciálisnál is gyorsabban nőnek
Az értékek log10-ben láthatók. Még logaritmikus skálán is drámaian nagyobb minden ugrás. Az 51. tökéletes számnak több mint 49 millió számjegye van.
Egy tökéletes szám egyenlő valódi osztóinak összegével: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Eukleidész megmutatta, hogy a 2^(p-1)*(2^p-1) alakú szám tökéletes, valahányszor 2^p-1 prím. Euler bebizonyította a megfordítást is: minden páros tökéletes szám ilyen alakú. Az, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, az egyik legrégebbi megoldatlan probléma; ilyet még soha nem találtak. Csak 51 tökéletes számot ismerünk, mind párosat, amelyek az 51 ismert Mersenne-prímhez tartoznak.