A φ (phi) az x² = x + 1 egyenlet pozitív megoldása. Ennek az egyenletnek geometriai jelentése van: ha egy szakaszt úgy osztunk ketté, hogy a teljes hossz és a hosszabb rész aránya megegyezzen a hosszabb és a rövidebb rész arányával, akkor ez az arány φ. Más számnak nincs ilyen önhasonló tulajdonsága.
Táblázat a phi-hoz tartó Fibonacci-arányokról
| Fib-pár | arány | távolság φ-től |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Az aranymetszés megjelenik a szabályos ötszögben és az ötszögcsillagban, ahol az átlók az aranymetszés arányában metszik egymást. Bármely Fibonacci-szám és az előző hányadosa φ-hez tart. Az [1; 1, 1, 1, …] lánctört a legegyszerűbb végtelen lánctört: mindenütt 1 áll benne. Emiatt φ a törtekkel legnehezebben közelíthető szám, ezért nevezik „a legirracionálisabb számnak”.
Vágjunk le egy négyzetet egy aranytéglalapból. A megmaradó rész ismét aranytéglalap, 1/φ faktorral kisebb. Ha ezt végtelenül ismételjük, az ív kirajzolja a kagylókban és galaxisokban látható aranyspirált.
φ kielégíti a φ² = φ + 1 összefüggést, tehát φ = 1 + 1/φ. Ezt ismételten behelyettesítve: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Ez a csupa 1-ből álló végtelen lánctört egyszerre definíciója és oka annak, hogy „a legirracionálisabbnak” tekintjük. Teljes pontossággal: 1.61803398874989484820…
Egy 1 oldalhosszúságú szabályos ötszögben minden átló hossza φ ≈ 1.618. Az átlók egymást is az aranymetszés arányában osztják. Ha mind az öt átlót berajzoljuk, egy pentagramma keletkezik, tele arányokkal.
Az aranymetszés, phi, körülbelül 1.61803398874989484820. Az x² = x + 1 egyenlet pozitív megoldása. A phi irracionális, algebrai, és az egymást követő Fibonacci-számok arányának határértéke. Megjelenik a szabályos ötszögben és ikozaéderben, a napraforgó magspiráljaiban, és az ókori Görögország óta vizsgált arányrendszerekben. Lánctörtje [1; 1, 1, 1, ...], ezért ő a törtekkel legnehezebben közelíthető valós szám, és ezért használja a fillotaxis a phi-ból származó aranyszöget.
Aranymetszés φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the másodfokú képlet.