A pi bármely kör kerületének és átmérőjének aránya. A kör méretétől függetlenül ez az arány mindig pontosan ugyanaz: π = 3.14159265358979... A definíció geometriai, de a pi megjelenik a fizikában, a valószínűségelméletben, a mérnöki tudományokban és a matematika minden ágában.
A pi nem írható fel két egész szám hányadosaként (Johann Heinrich Lambert bizonyította 1761-ben). Emellett transzcendens is: nem megoldása egyetlen egész együtthatós polinomnak sem (Ferdinand von Lindemann bizonyította 1882-ben). Emiatt körzővel és vonalzóval lehetetlen a kör négyszögesítése. Tizedes alakja soha nem ér véget és soha nem ismétlődik periodikusan.
Arkhimédész szürakuszai matematikus (~i. e. 250) volt az első, aki szigorúan korlátok közé szorította a pi értékét: megmutatta, hogy 3+10/71 és 3+1/7 között van, 96 oldalú beírt és köré írt sokszögekkel. A babilóniaiak 3.125-öt, az egyiptomiak 3.1605-öt használtak. A π jelet a walesi William Jones vezette be 1706-ban, Euler pedig népszerűvé tette. 2024-ig a pit több mint 100 billió tizedesjegyig számították ki.
A pi messze túlmutat a körökön: megjelenik a normáleloszlásban (a haranggörbe képletében √(2π) szerepel), Euler azonosságában e^(iπ) + 1 = 0 alakban, annak valószínűségében, hogy két véletlen egész szám relatív prím (6/π²), Stirling faktoriális-közelítésében n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, a kvantummechanikában és a gömb térfogatképletében (4πr³/3).
π ≈ 3.14159265358979323846. Irracionális (Lambert, 1761). Transzcendens (Lindemann, 1882). A Pi-nap március 14. (az amerikai 3/14 dátumformátum alapján). A 22/7 tört 0.04%-kal túlbecsüli a pit. A jobb 355/113 közelítés 6 tizedesjegy pontosságú. Hogy a pi normális szám-e (vagyis minden számjegysorozat azonos gyakorisággal jelenik-e meg benne), nem ismert, de széles körben valószínűnek tartják.
Arkhimédész 96 oldalú sokszögekkel bizonyította, hogy 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, vagyis 3.1408 < π < 3.1429. Nem kiszámította a π-t, hanem közrefogta. A módszer azért működik, mert a kör kerülete a két sokszög kerülete közé esik.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the leibniz-képlet.