Minden derékszögű háromszögben az átfogóra rajzolt négyzet területe egyenlő a másik két oldalra rajzolt négyzetek területének összegével. Ha a befogók a és b, az átfogó pedig c, akkor a² + b² = c². A 3-4-5 háromszögre ez 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². A 3-4-5 háromszögre: 9 + 16 = 25. A kék és a piros négyzet területe együtt megegyezik a zöld négyzet területével.
Az i. e. 1900 körüli babiloni agyagtáblák már felsorolnak Pitagorasz-számhármasokat (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), ami mutatja, hogy az összefüggést jóval Pitagorasz előtt empirikusan ismerték. Az első bizonyítást iskolája adta kb. i. e. 570 körül. Ma már több mint 370 különböző bizonyítás ismert, köztük algebrai, geometriai, trigonometriai és egy James Garfield amerikai elnök által 1876-ban publikált bizonyítás is.
Pitagorasz-számhármasok táblázata
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
n dimenzióban az origótól az (x₁, x₂, …, xₙ) pontig mért távolság: √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Fermat utolsó tétele (Andrew Wiles bizonyította 1995-ben, 358 év után) azt mondja ki, hogy nincs egész megoldás az aⁿ + bⁿ = cⁿ egyenletre, ha n nagyobb 2-nél. A Pitagorasz-tétel az n=2 eset, ahol végtelen sok egész megoldás létezik.
Mindkét nagy négyzet mérete (a+b)×(a+b). Mindkettőben négy azonos derékszögű háromszög van. A bal oldali négyzetben megmaradó rész c². A jobb oldaliban a²+b². Ezért egyenlők.
Minden derékszögű háromszögben: a^2 + b^2 = c^2. A babilóniaiak már i. e. 1800 körül empirikusan ismerték; az első bizonyítást a pitagoreusok adták kb. i. e. 570-ben. Több mint 370 különböző bizonyítása ismert, köztük James Garfield amerikai elnök 1876-os bizonyítása is. Az egész megoldásokat Pitagorasz-számhármasoknak nevezzük: minden ilyen hármas előáll az (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) képlettel. Fermat utolsó tétele (Wiles, 1995) szerint 2-nél nagyobb kitevőkre nincs hasonló egész megoldás. A tétel n dimenzióban az euklideszi távolság képleteként él tovább.