A Riemann-zéta-függvény: ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler a valós változatát tanulmányozta, és megkapta, hogy ζ(2) = π²/6 (a bázeli probléma), továbbá a szorzatképletet: ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) minden prímszámra. Riemann 1859-es korszakos dolgozatában terjesztette ki a függvényt komplex számokra.
Táblázat a zétafüggvény értékeiről páros egész helyeken
| s | ζ(s) | pontos alak |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | ismeretlen (Apéry) |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviális zérusok |
Riemann kulcsfelismerése az volt, hogy ζ(s)-t komplex s-re terjesztette ki; a nemtriviális zérusok (ahol ζ(s) = 0 és 0 < Re(s) < 1) szabályozzák a prímszámok eloszlását. Minden zérus egy oszcillációt járul hozzá a prímszámláló függvényhez. Riemann 1859-ben azt sejtette, hogy minden nemtriviális zérus a Re(s) = 1/2 egyenesen fekszik. Ez a Riemann-sejtés.
Több mint 10 billió nemtriviális zérusról ellenőrizték, hogy a Re(s) = 1/2 egyenesen fekszik. Ellenpéldát soha nem találtak. A Clay Mathematics Institute 1 millió dollárt ajánl fel a bizonyításért (vagy cáfolatért). Egy bizonyítás a lehető legélesebb hibakorlátot adná a prímszámok eloszlására. A Riemann-sejtés 165 éve bizonyítatlan.
A Riemann-zéta-függvény szimmetriát elégít ki: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Ez kiterjeszti a zétát minden komplex s-re (s = 1 kivételével), és az s helyen vett értéket az 1-s helyen vett értékhez kapcsolja. Ebből következik, hogy a nemtriviális zérusok párokban jönnek: ha s zérus, akkor 1-s is az. A triviális zérusok s = -2, -4, -6, ... helyeken a sin(pi*s/2) tényezőből származnak.
A Riemann-zéta-függvény: zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler páros egész helyeken kiértékelte: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann 1859-ben kiterjesztette komplex s-re, és azt sejtette, hogy minden nemtriviális zérus a Re(s) = 1/2 egyenesen fekszik. Ez a Riemann-sejtés 165 év után is bizonyítatlan, és 1 millió dolláros Clay Millennium Prize probléma. Több mint 10 billió zérust ellenőriztek a kritikus egyenesen. A zérusok szabályozzák a prímszámok eloszlását: mindegyik zérus egy oszcillációt ad a prímszámláló függvényhez.