A Stirling-közelítés szerint nagy n esetén n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Feltűnő, hogy egy permutációk megszámlálásáról szóló képletben egyszerre jelenik meg a π és az e. n = 10 esetén a hiba 1% alatt van. n = 100 esetén 0,1% alatt. A képlet pontossága korlátlanul javul, ahogy n nő.
A relatív hiba |n! − Stirling(n)| / n! n = 8-nál 1% alá, n = 80-nál 0,1% alá esik. Nagy n esetén a Stirling-közelítés gyakorlatilag pontos.
Abraham de Moivre 1730-ban felfedezte, hogy n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ valamilyen C állandóra. James Stirling ugyanabban az évben azonosította, hogy C = √(2π). A √(2π) tényező a Gauss-integrálból származik: amikor a Stirling-képletet a gammafüggvény segítségével vezetjük le, megjelenik az ∫e^(-t²)dt = √π integrál, és ezzel a π is bekerül a formulába.
A logaritmikus alakot a fizikában széles körben használják: a statisztikus mechanikában Boltzmann entrópiaképlete, S = k·ln(W), hatalmas N-re (részecskemólokra) igényli az ln(N!) értékét. A Stirling-közelítés ln(N!) ≈ N·ln(N) - N alakot ad, ami kezelhetővé teszi a számítást. A teljes aszimptotikus sor további korrekciókat ad: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
Logaritmikus skálán az n! és a Stirling-közelítés vizuálisan megkülönböztethetetlen. A relatív hiba 0-hoz tart, ahogy n nő.