A Taylor-sor bármely sima függvényt végtelen polinomként fejez ki. Minden együttható egy derivált: az n-edik tag f⁽ⁿ⁾(a)/n! szorozva (x-a)ⁿ-nel. Jól viselkedő függvényeknél, mint az eˣ, a sin(x) és a cos(x), a sor mindenütt a függvény pontos értékéhez tart.
Minden újabb tag távolabb tolja ki a jó közelítést. Több tagot hozzáadva: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
A három legfontosabb Maclaurin-sor: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (mindenütt konvergál); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (mindenütt konvergál); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (mindenütt konvergál). Ha az eˣ sorba x = iπ-t helyettesítünk, megkapjuk Euler azonosságát.
Maclaurin-sorok táblázata
| f(x) | Sor | Sugár |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor 1715-ben fogalmazta meg az általános tételt; a 0 középpontú speciális esetet Colin Maclaurin népszerűsítette 1742-ben. Minden számológép és számítógép Taylor-sorokat használ a transzcendens függvények kiszámítására. Az n tag utáni hibát a Lagrange-maradéktag korlátozza: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Minden újabb tagpár egy fokkal pontosabb közelítést ad.
A Taylor-sor egy sima függvényt végtelen polinomként ábrázol: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Az együtthatók az a középpontban vett deriváltak. A Maclaurin-sorok középpontja 0. A három kulcssor mindenütt konvergál: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Ha az e^x sorba x = i*pi-t helyettesítünk, megkapjuk Euler azonosságát. Minden számológép Taylor-sorokat használ a transzcendens függvények kiértékelésére.