Egy szám transzcendens, ha nem gyöke semmilyen egész együtthatós polinomegyenletnek. A pi nem elégít ki olyan egyenletet, mint x^2 - 3x + 1 = 0. Az e sem. Ezek a számok az algebra hatókörén túl léteznek. Bár név szerint ritkán említjük őket, nem kivételek, hanem szabályok: szinte minden valós szám transzcendens.
Minden racionális szám algebrai. Minden algebrai szám valós. De a transzcendensek – az algebrai körön kívüli számok – sokkal népesebbek, mint az összes algebrai szám együttvéve.
Liouville mesterséges konstrukciójától (1844) a Gelfond–Schneider-tételig (1934) a transzcendenciaelmélet érdekességből a számelmélet egyik fontos ágává nőtt.
Táblázat algebrai számokról minimálpolinomjaikkal, illetve transzcendens számokról, amelyekhez nincs ilyen polinom
| SZÁM | MINIMÁLPOLINOM |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | nincs ilyen polinom |
| e = 2.71828... | nincs ilyen polinom |
| e^pi = 23.1406... | nincs ilyen polinom |
Egy szám akkor transzcendens, ha nem elégít ki semmilyen egész együtthatós polinomegyenletet. Liouville 1844-ben adta az első explicit példát. Hermite 1873-ban bizonyította be, hogy e transzcendens. Lindemann 1882-ben bizonyította be, hogy pi transzcendens, ezzel végleg eldöntve, hogy a kör négyszögesítése lehetetlen. A Gelfond–Schneider-tétel (1934) szerint a^b transzcendens, valahányszor a algebrai, nem 0 és nem 1, b pedig algebrai és irracionális. Szinte minden valós szám transzcendens, bár konkrét példákat sokkal nehezebb előállítani, mint algebraiakat.