ζ(3) è il valore della funzione zeta di Riemann in 3: la somma di 1/n³ su tutti gli interi positivi. Per gli argomenti pari, Euler trovò splendide forme chiuse: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Per gli argomenti dispari non esiste alcuna formula del genere. Non si sa nemmeno se ζ(3) coinvolga π.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
Nel 1978 Roger Apéry annunciò una dimostrazione del fatto che ζ(3) è irrazionale. Il pubblico era scettico. Henri Cohen e altri matematici corsero a casa per verificarla sui computer durante la notte. La mattina seguente confermarono che era corretta. "Fu come un tuono a ciel sereno", disse uno dei presenti. Apéry aveva 64 anni.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Se ζ(3) possa essere espresso in termini di π è la grande questione aperta. Tutti i valori zeta pari sono multipli razionali della corrispondente potenza di π. I valori zeta dispari sembrano appartenere a un mondo diverso. Si sa che infiniti valori dispari ζ(2n+1) sono irrazionali (Rivoal, 2000), ma il quadro esatto resta misterioso. Valore completo: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = numero razionale × π^(2k) per ogni k pari. Euler lo dimostrò per tutti i valori pari. Ma ζ(3), ζ(5), ζ(7)... sono completamente diversi. ζ(3) è irrazionale (Apéry), ma non si conosce alcuna relazione con π. Potrebbe essere davvero indipendente da π.
Table showing zeta at even integers known as pi fractions but odd integers unknown
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Sconosciuto. Roger Apéry dimostrò nel 1978 che zeta(3) è irrazionale, ma stabilire se sia trascendente resta un problema aperto. Si ritiene ampiamente che lo sia, ma non esiste alcuna prova.
Nell'elettrodinamica quantistica (correzioni al momento magnetico dell'elettrone), nella teoria delle matrici casuali e nell'entropia di un modello di Ising bidimensionale. Compare nelle distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein nella meccanica statistica.
Ramanujan trovò serie a convergenza rapida per zeta(3), inclusa una formula che coinvolge 7pi^3/180 e somme su esponenziali. I suoi quaderni contenevano decine di identità legate a zeta(3), per lo più dimostrate solo decenni dopo la sua morte.
Interi A(n) = somma di C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 su k, che compaiono nella dimostrazione di irrazionalità di Apéry. I primi sono 1, 5, 73, 1445, 33001. Soddisfano una relazione di ricorrenza e crescono in un modo che costringe i denominatori delle somme parziali di 1/n^3 a cancellare fattori specifici, rendendo irrazionale il limite.
La costante di Apéry zeta(3) è la somma 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Per i valori pari di s, Euler trovò forme chiuse che coinvolgono pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Per i valori dispari non si conosce alcuna formula del genere. Roger Apéry dimostrò nel 1978, a 64 anni, che zeta(3) è irrazionale. Resta sconosciuto se sia trascendente o esprimibile in termini di pi.