La costante di Erdos-Borwein E è la somma 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ I denominatori sono i numeri di Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdos dimostrò nel 1948 che E è irrazionale. La sua trascendenza resta sconosciuta.
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
La serie converge geometricamente in fretta: ogni termine è circa la metà del precedente (poiché 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ per n grande). Dopo appena 20 termini la somma è accurata a 6 cifre decimali. L'equivalenza E = Σ d(n)/2ⁿ, dove d(n) conta i divisori dispari di n, collega la costante alla teoria dei divisori.
Se E sia trascendente è ancora una questione aperta. Ciò che rende memorabile la dimostrazione di irrazionalità di Erdos è la sua economia: usò il fatto che le rappresentazioni binarie dei denominatori 1, 3, 7, 15, 31… (che in binario sono 1, 11, 111, 1111, 11111) hanno una struttura speciale che impedisce alla somma di essere razionale. Il valore: 1.60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
La costante di Erdos-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Paul Erdos ne dimostrò l'irrazionalità nel 1948 usando proprietà binarie dei denominatori 2^n - 1. È uguale alla somma di d(n)/2^n, dove d(n) conta i divisori dispari di n. La serie converge rapidamente: ogni termine è circa la metà del precedente. Se sia trascendente è sconosciuto. Valore: 1.60669515245214159769492939967985...