L'identità di Eulero segue dalla formula di Eulero: eix = cos(x) + i·sin(x). Ponendo x = π otteniamo eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, quindi eiπ + 1 = 0.
eiθ traccia il cerchio unitario. Una rotazione di π porta a −1. Aggiungi 1, ottieni 0.
Collega aritmetica (0 e 1), algebra (i), geometria (π) e analisi (e) — quattro diversi rami della matematica — in un'unica equazione di sorprendente semplicità. Richard Feynman la definì "la formula più notevole della matematica."
Leonhard Euler (1707–1783) pubblicò la formula eix = cos(x) + i·sin(x) nella sua Introductio in analysin infinitorum (1748). L'identità è il caso particolare per x = π. Euler introdusse o rese popolare la notazione e, i, f(x), Σ e π.
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
La formula e^(i*theta) traccia una circonferenza unitaria sul piano complesso mentre theta aumenta. e^(i*pi) è una rotazione di esattamente pi radianti (180 gradi) a partire da 1, che arriva a -1. Aggiungendo 1 si torna a 0. Per questo e^(i*pi) + 1 = 0: è una mezza rotazione del piano complesso espressa come equazione.
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
L'identità di Euler e^(i*pi) + 1 = 0 unisce le cinque costanti più importanti della matematica: e (la base dei logaritmi naturali), i (l'unità immaginaria), pi (la costante del cerchio), 1 (l'identità moltiplicativa) e 0 (l'identità additiva). Segue direttamente dalla formula di Euler e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) ponendo theta = pi. Poiché cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0, otteniamo e^(i*pi) = -1. Pubblicata per la prima volta da Euler intorno al 1748. Votata come l'equazione più bella della matematica in più sondaggi.