Il teorema fondamentale del calcolo collega due idee apparentemente separate. Parte 1: se integri una funzione da un punto fisso a x, la derivata di quell'integrale è la funzione originale. Parte 2: l'integrale definito di f da a a b è uguale a una qualunque primitiva F valutata in b meno F valutata in a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.
Prima di questo teorema, per calcolare le aree servivano somme di Riemann: si divideva la regione in sottili rettangoli, li si sommava tutti e si passava al limite. Il TFC sostituisce tutto questo con una sola sottrazione. Newton lo comprese entro il 1666 e Leibniz indipendentemente entro il 1675. La loro disputa sulla priorità divise per una generazione la matematica europea e britannica.
Ogni integrale insegnato nei corsi di calcolo usa la Parte 2: trova una primitiva, valutala agli estremi, sottrai. Questo funziona perché derivazione e integrazione sono inverse esatte l'una dell'altra. È uno dei risultati più profondi e più utili di tutta la matematica.
A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.
Il lavoro compiuto da una forza variabile F(x) nello spostamento da a a b è W = ∫ da a a b di F(x) dx = P(b) - P(a), dove P è la funzione di energia potenziale che soddisfa P' = -F. La velocità si integra nello spostamento; la forza si integra nell'impulso. Il teorema fondamentale del calcolo è ciò che rende questi calcoli trattabili invece di richiedere infinite somme di Riemann.