La serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, ma cresce incredibilmente lentamente. Dopo un milione di termini arriva appena a 14. Il logaritmo naturale ln(n) cresce allo stesso ritmo. La costante di Euler-Mascheroni γ è il divario preciso tra le due: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow — the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ compare in tutta l'analisi e nella teoria dei numeri. Collega la serie armonica alla funzione zeta di Riemann: γ = -ζ'(1) in senso formale. Compare nella funzione Gamma Γ'(1) = -γ, nella distribuzione dei gap tra primi, nelle funzioni di Bessel e nello sviluppo asintotico della funzione digamma.
Se γ sia razionale o irrazionale è uno dei più antichi problemi aperti della matematica. Quasi tutti i matematici credono che sia trascendente, ma non esiste alcuna dimostrazione. È stata calcolata a oltre 600 miliardi di cifre decimali: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
La costante di Euler-Mascheroni gamma è circa 0.57721566490153286060. Se sia razionale o irrazionale è ignoto, uno dei più famosi problemi aperti della matematica. Euler la pubblicò per la prima volta nel 1734; Mascheroni la calcolò indipendentemente nel 1790. Gamma compare nella funzione Gamma, nella funzione zeta di Riemann, nel teorema di Mertens sui prodotti sui primi, nelle funzioni di Bessel e nella distribuzione dei gap tra primi. Poiché non esiste un algoritmo di streaming, le sue cifre sono precomputate e memorizzate.
Costante di Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the limite armonico-logaritmico.