La funzione e^(−x²) è la curva a campana: raggiunge il massimo 1 quando x = 0 e decresce simmetricamente verso 0 in entrambe le direzioni. L'area sottesa su tutta la retta reale è esattamente √π ≈ 1.7724. È notevole: e e π, di solito incontrate in contesti separati, si uniscono nell'integrale più semplice della teoria della probabilità.
The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.
La dimostrazione è uno dei trucchi più eleganti della matematica. Sia I = ∫e^(−x²)dx. Calcola I² scrivendolo come integrale doppio su x e y, poi passa alle coordinate polari r, θ. L'integranda diventa e^(−r²) e l'elemento di area diventa r·dr·dθ. Il fattore r rende l'integrale elementare: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Moltiplicando per ∫₀^(2π) dθ = 2π si ottiene I² = π, quindi I = √π.
La distribuzione normale, il teorema centrale del limite, le funzioni d'onda quantistiche (che usano pacchetti d'onda gaussiani) e l'approssimazione di Stirling per i fattoriali si basano tutti su questo singolo integrale. Il valore √π compare ovunque si integri e^(−x²), e questo accade quasi ovunque nella probabilità continua.
L'integrale gaussiano è l'integrale da meno infinito a più infinito di e^(-x^2) dx = sqrt(pi). L'elegante dimostrazione eleva al quadrato l'integrale, passa alle coordinate polari e lo valuta esattamente. Questo è il calcolo chiave alla base della distribuzione normale: la densità di probabilità (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) integra a 1. La funzione gaussiana compare nella meccanica quantistica, nella diffusione del calore, nell'approssimazione di Stirling e nel teorema centrale del limite.