La serie armonica è la somma di tutte le frazioni unitarie. Ogni termine 1/n tende a 0, ma la somma totale cresce senza limite. Questo è uno dei primi grandi shock dell'analisi: termini sempre più piccoli non garantiscono che una serie converga.
H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.
~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.
La serie armonica è 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... e diverge, anche se i termini tendono a zero. Nicole Oresme ne diede la dimostrazione classica per raggruppamento nel XIV secolo. Le somme parziali crescono come ln(n) + γ, dove γ è la costante di Euler-Mascheroni. Per questo la divergenza è estremamente lenta: servono più di 10^43 termini per arrivare a 100. Anche la somma dei reciproci dei numeri primi diverge, ma ancora più lentamente.