l'infinito numerabile è strettamente più piccolo dell'infinito non numerabile
L'infinito non è una sola cosa. Georg Cantor mostrò nel 1874 che alcuni infiniti sono più grandi di altri. I numeri naturali, gli interi e i razionali sono numerabili: si possono elencare. I numeri reali non lo sono. Questo introduce una gerarchia di dimensioni infinite.
Cantor's diagonal argument: why the reals cannot be listed
Sizes of infinity: a strict hierarchy
The natural numbers, integers, and rationals are all countably infinite: they can all be put in a one-to-one correspondence with each other. The real numbers are uncountably infinite: a strictly larger infinity. Between these two sizes, the Continuum Hypothesis asks whether there is anything in between.
Hilbert's Hotel: a hotel with infinitely many rooms, all full, always has room
Non tutti gli infiniti hanno la stessa grandezza. Cantor dimostrò che naturali, interi e razionali sono numerabili, mentre i reali sono non numerabili e quindi strettamente più grandi. L'argomento diagonale dimostra che nessun elenco di numeri reali può essere completo. L'hotel di Hilbert mostra quanto sia controintuitivo l'infinito numerabile. L'ipotesi del continuo chiede se esista una grandezza intermedia tra aleph-0 e il continuo; la risposta è indipendente dagli assiomi standard di ZFC.