Un numero è irrazionale se non può essere espresso come frazione p/q dove p e q sono interi. La sua espansione decimale non finisce mai e non si ripete mai. sqrt(2), pi, e e phi sono tutti irrazionali. Non sono eccezioni o curiosità: la grande maggioranza dei numeri reali è irrazionale.
Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.
Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
| RATIONAL: terminates or repeats | IRRATIONAL: never repeats |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| terminates | no pattern, ever |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| repeating block: {3} | no pattern, ever |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| repeating block: {142857} | no pattern, ever |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| repeating block: {45} | no pattern, ever |
The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.
Un numero è irrazionale se non può essere scritto come frazione p/q con p e q interi. La sua espansione decimale non finisce mai e non si ripete mai. I pitagorici dimostrarono che sqrt(2) è irrazionale intorno al 500 a.C., una scoperta sconvolgente per l'epoca. Lambert dimostrò nel 1761 che pi è irrazionale, ed Euler fece lo stesso per e nel 1737. La maggior parte dei numeri reali è irrazionale: i razionali sono infinitamente numerabili ma gli irrazionali sono non numerabili, quindi scegliere un numero reale a caso dà un irrazionale con probabilità 1. Gli irrazionali algebrici soddisfano equazioni polinomiali; i trascendenti no.