Ogni numero reale ha una frazione continua: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Gli interi a₁, a₂, a₃, … sono i quozienti parziali. Per π sono 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Per √2 sono 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periodica, tutti 2). Khinchin dimostrò nel 1934 che per quasi ogni numero reale la media geometrica dei quozienti parziali converge alla stessa costante K₀ ≈ 2.68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
La formula per K₀ è K₀ = ∏(k=1 a ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), che converge estremamente lentamente. Il teorema di Khinchin è un esempio di risultato vero per quasi ogni numero ma che non può essere verificato per una singola costante specifica. Non possiamo esibire un singolo esempio confermato di numero che lo soddisfi.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
Il fatto che 1 domini (41.5%) spiega perché K₀ ≈ 2.685 è minore di 3: i valori piccoli abbassano la media geometrica. Se tutte le cifre da 1 a 9 fossero ugualmente probabili, la media geometrica sarebbe (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15. Il forte peso verso 1 rende K₀ considerevolmente più piccolo.
La costante di Khinchin K0 ≈ 2.68545 è un limite universale: per quasi ogni numero reale x = [a0; a1, a2, ...], la media geometrica dei quozienti parziali (a1*a2*...*an)^(1/n) converge a K0. Dimostrata da Khinchin nel 1934. L'aspetto sorprendente è l'universalità: quasi ogni numero condivide questa media geometrica, eppure il risultato non può essere verificato per alcuna singola costante nota come pi o e. Se K0 sia algebrica o trascendente è ignoto.