La somma dei reciproci di tutti i numeri primi fino a n è 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Questa quantità cresce, ma straordinariamente lentamente: come ln(ln(n)). La costante di Meissel-Mertens M è lo scarto preciso tra questa somma e il suo termine dominante, proprio come la costante di Euler-Mascheroni γ è lo scarto tra la serie armonica e ln(n).
Euler dimostrò nel 1737 che la somma di tutti i reciproci dei numeri primi diverge. Questo è molto più difficile che dimostrare che esistono infiniti numeri primi, e dà un'idea quantitativa di quanto siano densi i primi. Il teorema di Mertens dice poi che Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), rendendo M il termine costante preciso.
Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M e γ sono related by M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Whether either costante è irrazionale è unknown. They sono both computed un billions di decimal places e believed trascendente, ma nessun dimostrazione exists per either. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
Il Euler-Mascheroni costante gamma measures il gap tra il harmonic serie (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) e ln(n). Il costante di Meissel-Mertens M plays il same role per il somma dei reciproci dei numeri primi (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) versus ln(ln(n)). Both sono il "error correction" costantes per divergent serie that grow logarithmically.
La costante di Meissel-Mertens M ≈ 0,26149 svolge per i reciproci dei numeri primi lo stesso ruolo che la costante di Euler-Mascheroni svolge per la serie armonica. Mertens dimostrò nel 1874 che 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + un piccolo errore. Non si sa se M sia irrazionale. Compare nel teorema di Mertens sui prodotti di numeri primi e nella densità dei numeri smooth. M e γ sono legate da una somma specifica su tutti i primi.