la somma di TUTTI i divisori (incluso n) è il doppio del numero
Un numero perfetto è uguale alla somma di tutti i suoi divisori propri (cioè tutti i divisori tranne se stesso). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Sono straordinariamente rari: se ne conoscono solo 51, tutti pari, e crescono astronomicamente. Se esista un numero perfetto dispari è ancora uno dei più antichi problemi aperti della matematica.
The first four perfect numbers: divisor portraits
Euclid–Euler theorem: even perfect numbers ↔ Mersenne primes
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
where 2^p − 1 is a Mersenne prime
Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.
Perfect numbers on a log scale: they grow faster than exponentially
Values shown as log10. Even on a log scale each jump is dramatically larger. The 51st perfect number has over 49 million digits.
Un numero perfetto è uguale alla somma dei suoi divisori propri: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclide mostrò che 2^(p-1)*(2^p-1) è perfetto ogni volta che 2^p-1 è primo. Euler dimostrò il viceversa: ogni numero perfetto pari ha questa forma. Se esista un numero perfetto dispari è uno dei più antichi problemi irrisolti; non ne è mai stato trovato nessuno. Si conoscono solo 51 numeri perfetti, tutti pari, corrispondenti ai 51 primi di Mersenne noti.