In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati. Se i cateti sono a e b, e l'ipotenusa è c, allora a² + b² = c². Un triangolo 3-4-5 soddisfa 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
Tavolette d'argilla babilonesi del 1900 a.C. elencano terne pitagoriche (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), mostrando che il risultato era noto empiricamente molto prima di Pitagora. La sua scuola (intorno al 570 a.C.) ne fornì la prima dimostrazione. Oggi si conoscono oltre 370 dimostrazioni diverse, tra cui algebriche, geometriche, trigonometriche e perfino una pubblicata dal presidente statunitense James Garfield nel 1876.
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
In n dimensioni, la distanza dall'origine a (x₁, x₂, …, xₙ) è √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). L'Ultimo Teorema di Fermat (dimostrato da Andrew Wiles nel 1995 dopo 358 anni) mostra che non esistono soluzioni intere di aⁿ + bⁿ = cⁿ per n maggiore di 2. Il teorema di Pitagora è il caso n=2, con infinite soluzioni intere.
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
In ogni triangolo rettangolo: a^2 + b^2 = c^2. Conosciuto empiricamente ai Babilonesi già nel 1800 a.C.; dimostrato per la prima volta dai Pitagorici attorno al 570 a.C. Esistono oltre 370 dimostrazioni distinte, compresa una del presidente degli Stati Uniti James Garfield nel 1876. Le soluzioni intere sono le terne pitagoriche: tutte si generano con (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). L'Ultimo teorema di Fermat (dimostrato da Wiles, 1995) mostra che non esistono soluzioni intere analoghe per esponenti superiori a 2. Il teorema si estende a n dimensioni come formula della distanza euclidea.