Il funzione zeta di Riemann è ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler studied il real version e found ζ(2) = π²/6 (the Basel problem) e il prodotto formula ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) su tutti primes. Riemann extended il funzione un numeri complessi in his landmark 1859 paper.
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
L'intuizione chiave di Riemann fu estendere ζ(s) ai numeri complessi: gli zeri non banali (dove ζ(s) = 0 con 0 < Re(s) < 1) controllano la distribuzione dei numeri primi. Ogni zero contribuisce un'oscillazione alla funzione che conta i primi. Riemann congetturò nel 1859 che tutti gli zeri non banali giacciano sulla retta Re(s) = 1/2. Questa è l'Ipotesi di Riemann.
Oltre 10 trilioni di zeri non banali sono stati verificati sulla retta Re(s) = 1/2. Non è mai stato trovato alcun controesempio. Il Clay Mathematics Institute offre 1 milione di dollari per una dimostrazione, o una confutazione. Una dimostrazione fornirebbe il miglior limite possibile sugli errori nella distribuzione dei numeri primi. L'Ipotesi di Riemann è irrisolta da 165 anni.
La funzione zeta di Riemann soddisfa una simmetria: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Questo estende zeta a tutti i numeri complessi s (tranne s = 1) e collega il valore in s al valore in 1-s. Mostra che gli zeri non banali compaiono a coppie: se s è uno zero, allora lo è anche 1-s. Gli zeri banali in s = -2, -4, -6, ... derivano dal fattore sin(pi*s/2).
La funzione zeta di Riemann è zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler la valutò negli interi pari: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann la estese a s complesso nel 1859 e congetturò che tutti gli zeri non banali giacciano su Re(s) = 1/2. Questa ipotesi di Riemann è ancora indimostrata dopo 165 anni ed è un problema del Clay Millennium Prize da 1 milione di dollari. Oltre 10 trilioni di zeri sono stati verificati sulla retta critica. Gli zeri controllano la distribuzione dei numeri primi: ogni zero contribuisce con un'oscillazione alla funzione che conta i primi.