√2 è il length di il diagonal di un quadrato unitario. Place un square con sides di length 1 on un table. Il distance da one corner un il opposite corner è esattamente √2. Questo è il teorema di Pi greco grecotagora: 1² + 1² = (√2)².
I pitagorici scoprirono attorno al 500 a.C. che √2 non può essere espresso come una frazione p/q in cui p e q sono interi. La dimostrazione per assurdo è elegante: supponi √2 = p/q in termini minimi. Allora 2q² = p², quindi p² è pari, dunque p è pari, scrivi p = 2k. Allora 2q² = 4k², quindi q² = 2k², e quindi anche q è pari. Questo contraddice il fatto che p/q sia in termini minimi. √2 è irrazionale.
Convergents da il frazione continua [1; 2, 2, 2, …]. Each fraction è il best razionale approximation con that denominator.
Convergents of square root of 2 from continued fraction
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 è algebrico (soddisfa x² = 2) ma irrazionale. In trigonometria: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. La serie dei formati A (A4, A3, A2…) usa il rapporto 1:√2, così che piegare un foglio a metà mantenga le stesse proporzioni. Calcolato alla piena precisione: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
La radice quadrata di 2 è circa 1.41421356237309504880. Fu il primo numero di cui si dimostrò l'irrazionalità, da parte dei Greci antichi intorno al 500 a.C. È algebrica, perché soddisfa x² = 2. Compare come lunghezza della diagonale di un quadrato unitario, nell'accordatura musicale temperata equabile (ogni semitono moltiplica la frequenza per la radice dodicesima di 2), nelle dimensioni della serie A della carta (piegando A4 si ottiene A5 con le stesse proporzioni) e nel teorema di Pitagora quando i cateti sono uguali.
Radice quadrata di 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the frazione continua.