L'approssimazione di Stirling afferma che, per n grande, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. La comparsa simultanea di π ed e in una formula che conta permutazioni è sorprendente. Per n = 10 l'errore è inferiore all'1%. Per n = 100 è inferiore allo 0,1%. La formula migliora senza limite al crescere di n.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre trovò nel 1730 che n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ per una certa costante C. James Stirling identificò nello stesso anno C = √(2π). Il fattore √(2π) nasce dall'integrale gaussiano: quando si ricava la formula di Stirling tramite la funzione Gamma, compare l'integrale ∫e^(-t²)dt = √π, che porta π dentro la formula.
Il logarithmic form è used throughout physics: in statistical mechanics, Boltzmann's entropy formula S = k·ln(W) requires ln(N!) per huge N (moles di particles). Stirling dà ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, making it tractable. Il full asymptotic serie adds corrections: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.