Un numero è trascendente se non è radice di alcuna equazione polinomiale con coefficienti interi. pi non soddisfa alcuna equazione del tipo x^2 - 3x + 1 = 0. e non soddisfa alcuna equazione di questo tipo. Esistono oltre la portata dell'algebra. Benché sia raro saperne nominare, i numeri trascendenti sono la regola e non l'eccezione: quasi ogni numero reale è trascendente.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Un numero è trascendente se non soddisfa alcuna equazione polinomiale con coefficienti interi. Liouville fornì il primo esempio esplicito nel 1844. Hermite dimostrò che e è trascendente nel 1873. Lindemann dimostrò che pi è trascendente nel 1882, risolvendo finalmente come impossibile l'antico problema della quadratura del cerchio. Il teorema di Gelfond-Schneider (1934) mostra che a^b è trascendente ogni volta che a è algebrico e non è 0 o 1, e b è algebrico e irrazionale. Pur essendo la regola e non l'eccezione, dimostrare che un numero specifico sia trascendente resta estremamente difficile.