Il prodotto di Wallis scrive π/2 come un prodotto infinito di frazioni semplici: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Ogni numero pari compare due volte, una volta più grande e una volta più piccolo dei suoi vicini. Moltiplicando abbastanza termini, il prodotto converge a π/2 ≈ 1.5708.
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
John Wallis ricavò questa formula nel 1655 dall'integrale ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, confrontando i casi in cui n è pari e dispari. Ciò che la rende notevole è che ricava π da una pura moltiplicazione di numeri razionali, senza coinvolgere alcuna geometria. Lo stesso prodotto emerge anche dall'identità della funzione Gamma: π = Γ(1/2)².
Il prodotto di Wallis converge molto lentamente: dopo n coppie l'errore è dell'ordine di 1/(4n). Ha un'enorme importanza teorica come uno dei primi prodotti infiniti mai studiati, aprendo la strada all'analisi di sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) e all'intera teoria dei prodotti infiniti nell'analisi complessa.
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.