ζ(3) คือค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ 3: ผลบวกของ 1/n³ สำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน สำหรับอินพุตที่เป็นจำนวนคู่ ออยเลอร์พบรูปปิดที่สวยงาม เช่น ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 แต่สำหรับอินพุตคี่ ยังไม่มีสูตรเช่นนั้นอยู่เลย แม้แต่คำถามว่า ζ(3) เกี่ยวข้องกับ π หรือไม่ก็ยังไม่ทราบ
ζ(3) อยู่ระหว่างสองค่าที่มีรูปปิดซึ่งเกี่ยวข้องกับ π อย่างชัดเจน แต่ยังไม่ทราบว่า ζ(3) เองเขียนด้วย π ได้หรือไม่
ในปี 1978 โรเฌร์ อาแปรีประกาศบทพิสูจน์ว่า ζ(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ ผู้ฟังในห้องประชุมสงสัยมาก อ็องรี โคแองและนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ รีบกลับบ้านไปตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ข้ามคืน เช้าวันรุ่งขึ้นพวกเขายืนยันได้ว่าบทพิสูจน์นั้นถูกต้อง ผู้เข้าร่วมคนหนึ่งกล่าวว่า “มันเหมือนฟ้าร้องในวันที่ท้องฟ้าใส” ตอนนั้นอาแปรีอายุ 64 ปี
ผลบวกย่อย 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... เข้าใกล้ ζ(3) ≈ 1.20206 จาก ด้านล่าง การลู่เข้าค่อนข้างช้า: แม้ที่ n=50 ผลรวมก็ยังห่างอยู่ราว 0.003
คำถามใหญ่ที่ยังเปิดอยู่คือ ζ(3) จะเขียนให้อยู่ในรูปที่อาศัย π ได้หรือไม่ ค่า ซีตา ที่เป็นจำนวนคู่ทั้งหมดเป็นจำนวนมีเหตุผลคูณกับกำลังที่สอดคล้องกันของ π ส่วนค่า ซีตา คี่ดูเหมือนจะอยู่คนละโลกกัน เราทราบว่ามีค่าแบบคี่จำนวนอนันต์ ζ(2n+1) ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ (Rivoal, 2000) แต่รูปแบบที่แน่นอนยังคงลึกลับ ค่าฉบับเต็มเริ่มต้นเป็น 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = จำนวนมีเหตุผล × π^(2k) สำหรับค่า k คู่ทั้งหมด ออยเลอร์พิสูจน์ได้สำหรับค่าคู่ทั้งหมด แต่ ζ(3), ζ(5), ζ(7)... แตกต่างออกไปโดยสิ้นเชิง เรารู้ว่า ζ(3) เป็นอตรรกยะ (จากอาแปรี) แต่ยังไม่รู้ความสัมพันธ์ใด ๆ กับ π มันอาจเป็นค่าที่เป็นอิสระจาก π อย่างแท้จริงก็ได้
ตารางแสดงค่า ζ ที่จำนวนเต็มคู่ซึ่งมีรูปปิดเป็นเศษส่วนของ π แต่ที่จำนวนเต็มคี่ยังไม่ทราบรูปปิด
| s คู่: มีสูตรแน่นอน | s คี่: ยังเป็นปริศนา |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | อตรรกยะ (อาแปรี 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | อตรรกยะหรือไม่? ยังไม่ทราบ |
| ทั้งหมด = จำนวนตรรกยะ × π^s | ยังไม่พบความเชื่อมโยงกับ π |
ยังไม่ทราบ โรเฌร์ อาแปรีพิสูจน์ในปี 1978 ว่า ซีตา(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่คำถามว่ามันเป็นจำนวนทรานส์เซนเดนทัลหรือไม่นั้นยังเป็นปัญหาเปิด โดยทั่วไปเชื่อกันว่ามันน่าจะเป็นทรานส์เซนเดนทัล แต่ยังไม่มีบทพิสูจน์
มันปรากฏในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (เช่น ค่าปรับแก้โมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอน), ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม และเอนโทรปีของแบบจำลองอิซิงสองมิติ นอกจากนี้ยังปรากฏในการแจกแจงแบบเฟอร์มี-ดีแรกและโบส-ไอน์สไตน์ในกลศาสตร์สถิติ
รามานุจันค้นพบอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างรวดเร็วสำหรับ ซีตา(3) รวมถึงสูตรที่มี 7pi^3/180 และผลบวกเหนือเลขชี้กำลัง สมุดบันทึกของเขามีอัตลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ ซีตา(3) อยู่หลายสิบรายการ ซึ่งส่วนใหญ่เพิ่งได้รับการพิสูจน์หลายสิบปีหลังจากเขาเสียชีวิต
เป็นจำนวนเต็ม A(n) = ผลบวกของ C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 เหนือค่า k ซึ่งปรากฏในบทพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของอาแปรี ค่าชุดแรกคือ 1, 5, 73, 1445, 33001 จำนวนเหล่านี้เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด และเติบโตในลักษณะที่บังคับให้ตัวส่วนของผลบวกย่อยของ 1/n^3 หักล้างปัจจัยบางตัวอย่างเฉพาะเจาะจง ทำให้ลิมิตเป็นจำนวนอตรรกยะ
ค่าคงที่ของอาแปรี ζ(3) คือผลบวก 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959 สำหรับค่า s ที่เป็นจำนวนคู่ ออยเลอร์พบรูปปิดที่เกี่ยวข้องกับ π: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90 แต่สำหรับค่าคี่ยังไม่มีสูตรเช่นนั้น โรเฌร์ อาแปรีพิสูจน์ในปี 1978 ขณะอายุ 64 ปีว่า ζ(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ ส่วนคำถามว่ามันเป็นจำนวนทรานส์เซนเดนทัลหรือเขียนในรูปที่อาศัย π ได้หรือไม่ ยังไม่ทราบ