ปัญหาบาเซิลถามว่า: ค่าที่แน่นอนของ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ คืออะไร? อนุกรมนี้ลู่เข้า แต่ลู่เข้าไปที่ค่าใด? ปีเอโตร เมงโกลีตั้งปัญหานี้ไว้ในปี 1650 มันทำให้นักคณิตศาสตร์ทุกคนจนปัญญาอยู่นาน 84 ปี จนกระทั่งออยเลอร์แก้ได้ในปี 1734 ตอนอายุ 28 ปี
ผลบวกย่อยค่อย ๆ เข้าใกล้ π²/6 ≈ 1.6449 ออยเลอร์พิสูจน์ในปี 1734 ว่าขีดจำกัดนี้เท่ากับ π²/6 ซึ่งเชื่อมการวิเคราะห์เข้ากับเรขาคณิต
บทพิสูจน์ของออยเลอร์แยกอนุกรมเทย์เลอร์ของ sin(x)/x ออกเป็นผลคูณอนันต์เหนือรากของมันที่ ±π, ±2π, ±3π… เมื่อนำสัมประสิทธิ์ของ x² จากรูปผลคูณไปเทียบกับสัมประสิทธิ์จากอนุกรมเทย์เลอร์ ก็จะได้ Σ 1/n² = π²/6 โดยตรง นี่เป็นหนึ่งในการคำนวณที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ และสาเหตุที่ π ปรากฏที่นี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: วงกลมและทรงกลมมีความเชื่อมโยงตามธรรมชาติกับผลบวกเหนือจำนวนเต็มผ่านฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
แต่ละพจน์ 1/n² ลดลงอย่างรวดเร็ว ผลรวมของมันลู่เข้าอย่างพอดีไปที่ π²/6 ≈ 1.6449
ผลลัพธ์นี้ขยายต่อได้อีก: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 และค่า ซีตา คู่ทั้งหมดเป็นจำนวนมีเหตุผลคูณกับกำลังของ π ส่วนค่าคี่อย่าง ζ(3), ζ(5), ζ(7)… ลึกลับกว่ามาก อาแปรีพิสูจน์ในปี 1978 ว่า ζ(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ยังไม่มีรูปปิดในเทอมของ π ที่ทราบ
ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มสองจำนวนที่สุ่มมาแล้วจะไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย เท่ากับ 6/π² พอดี ซึ่งเป็นส่วนกลับของ π²/6 ค่านี้ประมาณ 60.8% มันเชื่อมปัญหาบาเซิลเข้ากับทฤษฎีจำนวนและความน่าจะเป็นโดยตรง