จำนวนเชิงซ้อนมีสองส่วน: ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ หน่วยจินตภาพ i ทำให้ i² = -1 จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้โดยให้ b = 0 จำนวนเชิงซ้อนเติมเต็มระนาบสองมิติแทนที่จะเป็นเส้นหนึ่งมิติ ทำให้สมการพหุนามทุกสมการมีรากรวมตามดีกรีของมันอย่างครบถ้วน.
การคูณด้วย i คือการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา การคูณด้วย i สองครั้ง (คือ i²) จึงเป็นการหมุน 180 องศา ซึ่งพา 1 ไปเป็น -1 ดังนั้น i² = -1 ไม่ใช่แค่กลเม็ดทางพีชคณิต แต่มันคือการหมุน
เหนือจำนวนจริง สมการ x²+1=0 ไม่มีคำตอบ แต่เหนือจำนวนเชิงซ้อนมันมีสองคำตอบคือ i และ -i ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตกล่าวว่า: เมื่อขยายไปสู่จำนวนเชิงซ้อนแล้ว พหุนามดีกรี n ทุกตัวจะมีรากครบ n รากพอดี.
ตารางแสดงพหุนามเหนือจำนวนจริงเทียบกับจำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้เห็นว่าพหุนามดีกรี n ทุกตัวมีรากเชิงซ้อนครบ n ราก
| พหุนาม | รากจริง | เชิงซ้อน |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | ไม่มีรากจริง | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 รากจริง | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | ไม่มีรากจริง | 4 |
| พหุนามดีกรี n ทุกตัวมีรากเชิงซ้อนครบ n รากเสมอ (นับซ้ำตามพหุภาพ) |
จำนวนเชิงซ้อนขยายเส้นจำนวนจริงไปสู่ระนาบสองมิติด้วยการนำ i เข้ามา โดยที่ i ยกกำลังสองเท่ากับ -1 จำนวนเชิงซ้อนทุกตัว z = a + bi มีส่วนจริง a ส่วนจินตภาพ b โมดูลัส |z| = sqrt(a squared + b squared) และอาร์กิวเมนต์ arg(z) = atan(b/a) การคูณด้วย e^(i*theta) คือการหมุนเป็นมุม theta เรเดียน ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตกล่าวว่าพหุนามดีกรี n ทุกตัวมีรากเชิงซ้อนครบ n รากเมื่อนับพหุภาพ จำนวนเชิงซ้อนเป็นรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัม การประมวลผลสัญญาณ และเอกลักษณ์ของออยเลอร์.