เศษส่วนต่อเนื่องเขียนจำนวนหนึ่งจำนวนเป็นจำนวนเต็มบวกกับส่วนกลับของเศษส่วนต่อเนื่องอีกชั้นหนึ่ง จำนวนจริงทุกจำนวนมีการกระจายเป็นเศษส่วนต่อเนื่องที่เป็นเอกลักษณ์ จำนวนตรรกยะจะจบลง จำนวนอตรรกยะกำลังสองจะซ้ำเป็นคาบ ส่วนจำนวนทรานเซนเดนทัลอย่าง π จะไม่มีรูปแบบตายตัว คอนเวอร์เจนต์ (การประมาณเชิงตรรกยะที่ได้จากการตัดทอน) พิสูจน์ได้ว่าเป็นการประมาณที่ดีที่สุดในบรรดาเศษส่วนที่มีตัวส่วนขนาดเท่านั้นหรือน้อยกว่า.
ตารางเปรียบเทียบเศษส่วนต่อเนื่องของ φ, √2, e และ π ว่าค่าใดเป็นคาบและค่าใดไม่สม่ำเสมอ
| ค่าคงที่ | สัญกรณ์เศษส่วนต่อเนื่อง | ชนิด |
|---|---|---|
| ฟี | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | เป็นคาบ |
| √2 | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | เป็นคาบ |
| √3 | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | เป็นคาบ |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | มีรูปแบบ |
| π | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | ไม่มีรูปแบบ |
| ทฤษฎีบท: เศษส่วนต่อเนื่องจะเป็นคาบ ก็ต่อเมื่อจำนวนนั้นเป็นอตรรกยะกำลังสอง (Lagrange, 1770) | ||
| ฟี เป็นจำนวนที่ “ประมาณได้ยากที่สุด”: เศษส่วนต่อเนื่องที่มีแต่เลข 1 ให้การลู่เข้าที่แย่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ |
ตารางคอนเวอร์เจนต์ของ π ที่แสดงการประมาณแบบเศษส่วนซึ่งแม่นยำขึ้นเรื่อย ๆ ด้วยตัวส่วนขนาดเล็ก
| คอนเวอร์เจนต์ | ค่าทศนิยม | ความคลาดเคลื่อน |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 ถูกต้องถึง 6 ตำแหน่งทศนิยมทั้งที่มีตัวส่วนเพียง 3 หลัก |
คอนเวอร์เจนต์ 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 สลับกันอยู่เหนือและใต้ค่า π แต่ละตัวเป็นการประมาณเชิงตรรกยะที่ดีที่สุดเมื่อจำกัดตัวส่วนไว้เท่านี้หรือน้อยกว่า
จำนวนจริงทุกจำนวนมีการกระจายเป็นเศษส่วนต่อเนื่องที่เป็นเอกลักษณ์ จำนวนตรรกยะมีการกระจายแบบสิ้นสุด จำนวนอตรรกยะกำลังสอง (เช่น sqrt(2) และ ฟี) มีการกระจายที่ท้ายที่สุดแล้วเป็นคาบ ส่วนจำนวนทรานเซนเดนทัลอย่าง π ไม่มีรูปแบบตายตัว คอนเวอร์เจนต์ของเศษส่วนต่อเนื่องเป็นการประมาณเชิงตรรกยะที่ดีที่สุด: 22/7 และ 355/113 เป็นคอนเวอร์เจนต์ของ π และตรงกับค่า π ถึง 2 และ 6 ตำแหน่งทศนิยมตามลำดับ ฟี = [1; 1, 1, 1, ...] เป็นจำนวนที่ประมาณได้ยากที่สุด ทำให้มันเป็น “อตรรกยะที่สุด” ในความหมายที่แม่นยำ.